Юридически эти два слова обозначают один и тот же документ... сейчас
как же упростилась наша речь.
А теперь внимательнее читаем:
за ВЕЩ ание - дети пришли за вещами.
за ПОВІТ - ... "Слово «заповіт» має двоє понять: умова між двома сторонами і заповіт умираючого. Заповіт Бога з людиною є в тому, щоб людина прийняла в своє серце Христа, як свого власного Рятівника, і дістала усиновлення від Бога; заповіт Христа, складений напередодні хресної Його смерті і скріплений кров`ю, як кров`ю безневинних жертовних тварин, був скріплений заповіт Бога з Ізраїлем (Євр. 9:16-17):
16. Бо, де є заповіт, там необхідно, щоб настала смерть заповідача,
17. Тому що Заповіт чинний після померлих; він не має сили, коли заповідач живий." УкрВікі
Даже википедия и та позориться не стала - у них статья про завещание в укр варианте называется "Спадко́вий до́говір"